Matemática maluca: série infinita apresenta três resultados diferentes

Se você é fã de Matemática e adora solucionar problemas, vai adorar o vídeo postado no YouTube por Dr. James Grime, do canal Numberphile. Trata-se de uma demonstração da Série de Grandi, desenvolvida pelo filósofo e matemático italiano Guido Grandi no século 18 e que consiste em uma série infinita na qual o número “1” é subtraído e adicionado sucessivamente.

No entanto, apesar de essa história de somar e subtrair o número 1 repetidamente e até o infinito parecer algo simples — e de a resposta dar a impressão de ser bem óbvia —, existem três soluções diferentes para esse problema, dependendo das regrinhas mágicas que você adotar para encarar o desafio. Confira no vídeo a seguir:

Embora o vídeo esteja em inglês, é possível ativar as legendas em português — relativamente bem compreensíveis — no menu.

Conforme você pode ver, a série consiste em calcular 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1..., infinitamente. Contudo, se adicionarmos parênteses à série — (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1)... — o resultado será igual a zero. Por outro lado, ao adicionarmos os parênteses de uma maneira um pouquinho diferente e somarmos os seus conteúdos — 1 + (– 1 + 1) + (– 1 + 1) + (– 1 + 1) + (– 1... —, então a resposta será igual a 1.

Porém, existe ainda uma terceira resposta, que é a mais surpreendente: digamos que o resultado do cálculo da série infinita seja um número representado pela letra “S”. Assim, que tal fazermos a conta 1 – S, que significa o mesmo que 1 – o resultado da conta infinita? Escrevendo o cálculo, ele ficaria desta forma: 1 – S = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1...).

Contudo, se eliminarmos os parênteses, o sinal de subtração faz com que todos os sinais sejam invertidos, então a conta passa a ser: 1 – S = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1...) = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 –..., que é exatamente igual à série infinita de Grandi, ou seja, igual a S de novo. No entanto, reescrevendo o cálculo temos que 1 – S = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1...) = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 –... = S, que é o mesmo que 2S = 1.

Ou seja, o resultado da soma e da subtração infinita do número 1, de acordo com esta terceira solução é igual a ½! Para saber mais sobre esse cálculo e outras séries com resultados estranhos, confira as explicações do Dr. Grime no vídeo.

*Publicado originalmente em 27/06/2013.

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